미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

유리화 수열 보기

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 an=1n+1+n\displaystyle a _{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 일 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. lim⁡n→∞an=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = 0} ㄴ. ∑n=199an=9\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{99} a _{n} = 9 ㄷ. ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}은 수렴한다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

[출제의도] 무한급수의 수렴과 발산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞1n+1+n=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}} = 0 ∴\therefore참 ㄴ. ∑n=199an=∑n=199(n+1−n)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{99} {} a _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{99} {( {\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}} ) =(2−1)+(3−2)+⋯+(100−99)\displaystyle = ( \sqrt{2} - {1} ) + ( \sqrt{3} - \sqrt{2} ) + \cdots + ( \sqrt{100} - \sqrt{99} ) =100−1=9\displaystyle = \sqrt{100} - 1 = 9 ∴\therefore참 ㄷ. ∑n=1∞an=lim⁡n→∞∑k=1n1k+1+k\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{k}} =lim⁡n→∞∑k=1n(k+1−k)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( \sqrt{k + 1} - \sqrt{k} ) =lim⁡n→∞(n+1−1)=∞\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( \sqrt{n + 1} - \sqrt{1} ) = \infty ∴\therefore거짓

태그

#급수의 수렴#유리화

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