유리함수와 직각 조건

[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 수학 내적 문제 해결하기 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{2}{x}$라 하면 $f \left( x \right) = f ^{- 1} \left( x \right)$이므로 곡선 $\displaystyle y = \frac{2}{x}$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 곡선 $\displaystyle y = \frac{2}{x}$와 직선 $y = - x + k$가 제$1$사분면에서 만나는 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\displaystyle \mathrm{A} \left( \mathit{a} , \frac{2}{a} \right)$$\displaystyle \left( a \ne \sqrt{2} \right)$라 하면 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{\mathit{2}}{a} , a \right)$이다. $\angle \mathrm{ABC} = 90 ^\circ$이므로 점 $\mathrm{C}$는 제$3$사분면 위에 있고 점 $\mathrm{C}$의 좌표를 $\displaystyle \mathrm{C} \left( \mathit{c} , \frac{2}{c} \right)$라 하면 직선 $\mathrm{BC}$의 기울기는 $1$이다. $\displaystyle \frac{\frac{2}{c} - a}{c - \frac{2}{a}} = \frac{- a}{c} = 1$, $c = - a$이므로 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{C} \left( \mathit{-} a , - \frac{2}{a} \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2}$$\displaystyle = \left\{ a - \left( - a \right) \right\} ^{2} + \left\{ \frac{2}{a} - \left( - \frac{2}{a} \right) \right\} ^{2}$$\displaystyle = 4 a ^{2} + \frac{16}{a ^{2}}$$= 20$ $\displaystyle a ^{2} + \frac{4}{a ^{2}} = 5$ 따라서 $\displaystyle k ^{2} = \left( a + \frac{2}{a} \right) ^{2} = a ^{2} + \frac{4}{a ^{2}} + 4 = 9$