공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

유리함수와 정사각형

문제

그림과 같이 함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{2 x}{6 x - 9}$ 의 그래프 위의 점 중에서 제 $1$ 사분면에 있는 점을 $\mathrm{P}$ , 제 $4$ 사분면에 있는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{P}$ 에서 $x$ 축, $y$ 축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하고, 점 $\mathrm{Q}$ 에서 $x$ 축, $y$ 축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ 라 하자. 두 사각형 $\mathrm{OAPB}$ , $\mathrm{ODQC}$ 가 정사각형일 때, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} : {\overline{\mathrm{OQ}}} = m : n$ 이다. $m + n$ 의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이고, $m$ , $n$ 은 서로소인 자연수이다.) [4점]

$y = f ( x )$

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해설

[출제의도] 유리함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = {\overline{\mathrm{BP}}}$ 이므로 점 $\mathrm{P}$ 는 직선 $y = x$ 위의 점 $\mathrm{P} \mathit{(} a , a )$ 이다. $\displaystyle f ( a ) = \frac{2 a}{6 a - 9} = a$ , 즉 $\displaystyle a = \frac{11}{6}$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{11}{6} , \frac{11}{6} \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CQ}}} = {\overline{\mathrm{DQ}}}$ 이므로 점 $\mathrm{Q}$ 는 직선 $y = - x$ 위의 점 $\mathrm{Q} \mathit{(} b , - b )$ 이다. $\displaystyle f ( b ) = \frac{2 b}{6 b - 9} = - b$ , 즉 $\displaystyle b = \frac{7}{6}$ $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{7}{6} , - \frac{7}{6} \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} : {\overline{\mathrm{OQ}}} = {\overline{\mathrm{OA}}} : {\overline{\mathrm{OC}}} = 11 : 7$ 이므로 $m = 11$ , $n = 7$ 따라서 $m + n = 18$

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