공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

유리함수와 격자점

문제

함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{k}{x - 11} + 6 \left( k \geq 36 \right)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $k$ 의 개수는? [4점] $\left| f ( x ) \right| \leq y \leq - x + 5$ 인 두 자연수 $x$ , $y$ 의 모든 순서쌍 $\left( x , y \right)$ 의 개수는 $2$ 이상 $4$ 이하이다.

① $18$ ② $21$ ③ $24$ ④ $27$ ⑤ $30$

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①

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해설

$f ( x )$ 의 $x$ 절편을 $a$ 라 할 때 ⅰ) $0 \leq a \leq 5$ 인 경우 $f ( x )$ 의 $x < a$ 인 부분 그래프는 $k$ 가 증가함에 따라 $f ( x )$ 의 두 점근선의 교점 $( 11 , 6 )$ 으로부터 멀어진다. $k$ 의 최솟값 $36$ 보다 커지면 주어진 조건을 만족하는 $k$ 의 값은 없다.

ⅱ) $a < 0$ 인 경우 $k$ 값이 증가함에 따라 $- f ( x )$ 의 그래프는 두 점근선의 교점 $( 11 , - 6 )$ 으로부터 멀어진다. $( 11 , - 6 )$ 으로부터 가장 먼 격자점부터 세어보면, $k$ 가 작아지면서 순서대로 $( 1 , 4 )$ → $( 1 , 3 )$ → $( 2 , 3 )$ → $( 1 , 2 )$ → $( 2 , 2 )$ 를 지나게 된다. 점 $( 1 , 3 )$ 을 기준으로 $k = 90$ 점 $( 2 , 2 )$ 을 기준으로 $k = 72$ 이므로 $\therefore 72 < k \leq 90$

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