유리함수 역함수 조건

[출제의도] 유리함수의 그래프의 성질과 도형의 이동을 이용하여 식의 값을 구한다. $f ( x )$$\displaystyle = \frac{2 x + b}{x - a}$$\displaystyle = \frac{2 ( x - a ) + 2 a + b}{x - a}$$\displaystyle = \frac{2 a + b}{x - a} + 2$ 에서 함수 $y =$$f ( x )$의 그래프의 두 점근선의 교점은 점 $\left( a , 2 \right)$이다. 이때, $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프의 두 점근선의 교점은 점 $\left( a , 2 \right)$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점이므로 그 좌표는 $\left( 2 , a \right)$와 같다. (가)에서 함수 $y = f \left( x - 4 \right) - 4$의 그래프는 함수 $y = f ( x )$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $4$만큼, $y$축의 방향으로 $- 4$만큼 평행이동한 그래프와 일치하므로 함수 $y = f \left( x - 4 \right) - 4$의 그래프의 두 점근선의 교점은 점 $\left( a + 4 , - 2 \right)$이다. 점 $\left( 2 , a \right)$와 점 $\left( a + 4 , - 2 \right)$가 같으므로 $a = \mathit{-} 2$ 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = \frac{2 a + b}{x}$의 그래프를 평행이동한 그래프와 일치하므로 (나)에서 $2 a + b = 3$ $b = 7$ 따라서 $a + b = \mathit{-} 2 + 7 = 5$ [다른 풀이] $\displaystyle y = \frac{2 x + b}{x - a}$에서 $\left( x - a \right) y = 2 x + b$ $xy - ay = 2 x + b$ $\left( y - 2 \right) x = ay + b$ $\displaystyle x = \frac{ay + b}{y - 2}$ $x$와 $y$를 서로 바꾸면 $\displaystyle f ^{- 1} ( x ) = \frac{ax + b}{x - 2}$ (가)에 의해 $\displaystyle \frac{ax + b}{x - 2}$$\displaystyle = \frac{2 ( x - 4 ) + b}{\left( x - 4 \right) - a} - 4$ $\displaystyle = \frac{2 ( x - 4 ) + b}{\left( x - 4 \right) - a} - \frac{4 ( x - 4 - a )}{\left( x - 4 \right) - a}$$\displaystyle = \frac{- 2 x + 4 a + 8 + b}{x - 4 - a}$ $- 2 = \mathit{-} 4 - a$에서 $a = \mathit{-} 2$ $f \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{2 x + b}{x + 2}$$\displaystyle = \frac{2 \left( x + 2 \right) + b - 4}{x + 2}$$\displaystyle = 2 + \frac{b - 4}{x + 2}$ 이므로 (나)에 의해 $b - 4 = 3$ $b = 7$ 따라서 $a + b = \mathit{-} 2 + 7 = 5$