공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

유리함수 역함수 계수

문제

유리함수 f(x)=ax+b−x+c\displaystyle f ( x ) = \frac{ax + b}{- x + c}의 역함수가 f−1(x)=2x+3x+4\displaystyle f ^{-1} ( x ) = \frac{2 x + 3}{x + 4}일 때, a+b+ca + b + c의 값을 구하시오. [3점]

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3

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해설

[출제의도] 역함수의 뜻을 알고 역함수 구하기 y=2x+3x+4↔xy+4y=\displaystyle y = \frac{2 x + 3}{x + 4} \leftrightarrow xy + 4 y =2x+32 x + 3 ↔x(y−2)=−4y+3↔x=−4y+3y−2\displaystyle \leftrightarrow x ( y - 2 ) = - 4 y + 3 \leftrightarrow x = \frac{- 4 y + 3}{y - 2} 이때, xx와 yy를 바꾸면 y=−4x+3x−2\displaystyle y = \frac{- 4 x + 3}{x - 2}이다. 따라서 (f−1)−1=f\left( f ^{-1} \right) ^{-1} = f 이므로 f(x)=−4x+3x−2=\displaystyle f ( x ) = \frac{- 4 x + 3}{x - 2} =4x−3−x+2\displaystyle \frac{4 x - 3}{- x + 2}에서 a=4,b=−3,c=2a = 4 , b = - 3 , c = 2 ∴ a+b+c=3a + b + c = 3

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#유리함수#역함수

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