유리함수 위 두 점

[출제의도] 직선의 방정식을 이용하여 명제의 참, 거짓을 판별한다. ㄱ. 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $\displaystyle y - \frac{2}{a} = \frac{\frac{2}{b} - \frac{2}{a}}{b - a} ( x - a )$ $\displaystyle y = - \frac{2}{ab} ( x - a ) + \frac{2}{a}$ $\displaystyle 0 = - \frac{2}{ab} ( x - a ) + \frac{2}{a}$에서 $\displaystyle \frac{2}{ab} ( x - a ) = \frac{2}{a}$ $2 ( x - a ) = 2 b$ ∴ $x = a + b$ (참) ㄴ. 점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이므로 $\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{\mathit{a + b}}{2} , \frac{a + b}{ab} \right)$ 직선 $\mathrm{OD}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{\frac{a + b}{ab}}{\frac{a + b}{2}} = \frac{2}{ab}$ 따라서 두 직선 ${\mathrm{A} B}$와 $\mathrm{O} D$의 기울기의 합은 $\displaystyle - \frac{2}{ab} + \frac{2}{ab} = 0$ (참) ㄷ.

$\displaystyle \overline{\mathrm{A} O} = \overline{\mathrm{A} D}$이므로 $\mathrm{\angle} \mathrm{AOD} = \angle ADO$ 두 직선 ${\mathrm{A} B}$와 $\mathrm{O} D$의 기울기의 합은 $0$이므로 $\mathrm{\angle} DOC = \angle DCO$ $\mathrm{\angle} ADO = \angle DOC + \angle DCO$이므로 ∴ $\mathrm{\angle} ADO = 2 \angle DOC$ $\mathrm{\angle} AOC = \angle \mathrm{AOD} + \angle \mathrm{DOC}$$\displaystyle = \angle \mathrm{AOD} \mathit{+} \frac{1}{2} \angle {\mathrm{A} DO}$ $\displaystyle \mathrm{=} \frac{3}{2} \angle AOD$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.