유리함수 속 정사각형

[출제의도] 함수 그래프의 성질을 이용하여 추측하기 곡선 $\displaystyle y = \frac{4 n ^{2} x - 64 n + 1}{nx - 16} = \frac{1}{nx - 16} + 4 n$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역에서 $\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{16}{n} - \frac{1}{4 n ^{2}} , 0 \leq y \leq 4 n - \frac{1}{16}$이다. 함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{nx - 16} + 4 n$라 하면, $\displaystyle 0 \leq x < \frac{16}{n}$에서 감소함수이고, $\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{15}{n}$에서 함숫값은 $\displaystyle 4 n - 1 \leq f ( x ) \leq 4 n - \frac{1}{16}$ 이다. [그림1]과 같이 $n = 1$일 때, 곡선 $\displaystyle y = \frac{4 x - 63}{x - 16} = \frac{1}{x - 16} + 4$ 와 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 내부 및 경계에 포함되고 한 변의 길이가 1이고, $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점을 네 꼭짓점으로 하는 정사각형의 개수는 영역에 포함되는 점 중 $x$좌표와 $y$좌표가 정수이고 각각의 값이 가장 큰 점이 $( 15 , 3 )$이므로 $a _{1} = 15 \times 3 = 45$이다.

[그림2]와 같이 $n = 2$일 때, 곡선 $\displaystyle y = \frac{16 x - 127}{2 x - 16} = \frac{1}{2 x - 16} + 8$ 과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 내부 및 경계에 포함되고 한 변의 길이가 1이고, $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점을 네 꼭짓점으로 하는 정사각형의 개수는 영역에 포함되는 점 중 $x$좌표와 $y$좌표가 정수이고 각각의 값이 가장 큰 점이 $( 7 , 7 )$이므로 $a _{2} = 7 \times 7 = 49$이다.

이와 같이 영역에 포함되는 점 중 $x$좌표와 $y$좌표가 정수이고 각각의 값이 가장 큰 점의 좌표를 $( a , b )$라 하면, $a$는 $\displaystyle \frac{16}{n}$보다 작은 최대의 정수이고, $b$는 함숫값 $f ( a )$보다 크지 않은 최대의 정수 $4 n - 1$이다. 곡선 $\displaystyle y = \frac{4 n ^{2} x - 64 n + 1}{nx - 16}$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 내부 및 경계에 포함되고 한 변의 길이가 1이고, $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점을 네 꼭짓점으로 하는 정사각형의 개수 $a _{n} = a \times b$ $a _{3} = 5 \times 11 = 55$ $a _{4} = 3 \times 15 = 45$ $a _{5} = 3 \times 19 = 57$ $a _{6} = 2 \times 23 = 46$ $\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{6} a _{n} = 297$