미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

유리함수 점화 수열 극한

문제

함수 f(x)=x+3x\displaystyle f ( x ) = \frac{x + 3}{x}에 대하여 두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) a1=1a _{1} = 1 (나) bn=f(an)b _{n} = f ( a _{n} ) (다) an+1=anbna _{n + 1} = a _{n} b _{n}

이때, lim⁡n→∞(ann+bn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{a _{n}}{n} + b _{n} \right)}의 값은? [4점] ①11②22③33④44⑤55

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④

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해설

[출제의도] 수학적 귀납법 이해하기 a1=1a _{1} = 1, b1=4b _{1} = 4 bn=f(an)=an+3an\displaystyle b _{n} = f ( a _{n} ) = \frac{a _{n} + 3}{a _{n}} ∴ anbn=an+3=an+1a _{n} b _{n} = a _{n} + 3 = a _{n + 1} an=1+(n−1)3=3n−2a _{n} = 1 + ( n - 1 ) 3 = 3 n - 2, bn=3n+13n−2\displaystyle b _{n} = \frac{3 n + 1}{3 n - 2} ∴ lim⁡n→∞(ann+bn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{a _{n}}{n} + b _{n} \right)}=lim⁡n→∞(3n−2n+3n+13n−2)=4\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{3 n - 2}{n} + \frac{3 n + 1}{3 n - 2} \right) = 4}

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#수열의 극한#등차수열

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