유리함수 일대일

$\displaystyle x < \frac{4}{a}$ 또는 $x > b$에서 $\displaystyle f \left( x \right) = \left| \frac{ax - 4}{x - b} \right| = \left| \frac{ab - 4}{x - b} + a \right|$ (ⅰ) $a > 0$인 경우 $\displaystyle b > \frac{4}{a}$에서 $ab > 4$, $b > 0$이므로 $\displaystyle x < \frac{4}{a}$ 또는 $x > b$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 $f \left( x \right)$가 일대일함수이기 위해서는 $\displaystyle \frac{4}{a} \leq x \leq b$에서 $f \left( x \right) \leq 0$이어야 한다. $\cdots$$\cdots$ (*) $x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) = k$의 해가 존재하지 않도록 하는 양수 $k$의 값 $p$는 $a$이다. 함수 $y = ax ^{2} - 4 bx$의 그래프는 직선 $\displaystyle x = \frac{2 b}{a}$에 대하여 대칭이므로 함수 $f \left( x \right)$가 일대일함수이기 위해서는 $\displaystyle \frac{2 b}{a} \leq \frac{4}{a}$ 또는 $\displaystyle b \leq \frac{2 b}{a}$이어야 한다. ① $\displaystyle \frac{2 b}{a} \leq \frac{4}{a}$, 즉 $b \leq 2$인 경우 $\displaystyle \frac{4}{a} \leq x \leq b$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $\displaystyle f \left( \frac{4}{a} \right)$$\displaystyle = a \times \frac{16}{a ^{2}} - \frac{16 b}{a}$$\displaystyle = \frac{16}{a} - \frac{16 b}{a}$ 이므로 $\displaystyle m = \frac{16}{a} - \frac{16 b}{a}$ 조건 (나)에서 $p \times m$$\displaystyle = a \times \left( \frac{16}{a} - \frac{16 b}{a} \right)$$= - 64$ $16 - 16 b = - 64$ $b = 5$이므로 $b \leq 2$를 만족시키지 않는다. ② $\displaystyle b \leq \frac{2 b}{a}$, 즉 $a \leq 2$인 경우 $\displaystyle \frac{4}{a} \leq x \leq b$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $f \left( b \right) = ab ^{2} - 4 b ^{2}$ 이므로 $m = ab ^{2} - 4 b ^{2}$ $0 < a \leq 2$이고 $a$는 정수이므로 $a = 1$ 또는 $a = 2$ $a = 1$이면 조건 (나)에서 $p \times m = 1 \times \left( - 3 b ^{2} \right) = - 64$ $\displaystyle b ^{2} = \frac{64}{3}$ 이므로 $b$가 유리수라는 조건을 만족시키지 않는다. $a = 2$이면 조건 (나)에서 $p \times m = 2 \times \left( - 2 b ^{2} \right) = - 64$ $b ^{2} = 16$ $b$는 $0$보다 큰 유리수이므로 $b = 4$ $\displaystyle \frac{4}{a} \leq x \leq b$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값은 $\displaystyle f \left( \frac{4}{a} \right)$이고 $\displaystyle f \left( \frac{4}{a} \right) = f \left( 2 \right) = 8 - 32 = - 24 < 0$이므로 (*)을 만족시킨다. 그러므로 ①, ②에서 $a = 2$, $b = 4$일 때 함수 $f \left( x \right)$는 주어진 조건을 만족시킨다.

(ⅱ) $a < 0$인 경우 $\displaystyle b > \frac{4}{a}$에서 $ab < 4$이므로 $\displaystyle x < \frac{4}{a}$ 또는 $x > b$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 $f \left( x \right)$가 일대일함수이기 위해서는 $\displaystyle \frac{4}{a} \leq x \leq b$에서 $f \left( x \right) \leq 0$이어야 한다. $\cdots$$\cdots$ (**) $x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) = k$의 해가 존재하지 않도록 하는 양수 $k$의 값 $p$는 $- a$이다. 함수 $y = ax ^{2} - 4 bx$의 그래프는 직선 $\displaystyle x = \frac{2 b}{a}$에 대하여 대칭이므로 함수 $f \left( x \right)$가 일대일함수이기 위해서는 $\displaystyle \frac{2 b}{a} \leq \frac{4}{a}$ 또는 $\displaystyle b \leq \frac{2 b}{a}$이어야 한다. ① $\displaystyle \frac{2 b}{a} \leq \frac{4}{a}$, 즉 $b \geq 2$인 경우 $\displaystyle \frac{4}{a} \leq x \leq b$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값은 $\displaystyle f \left( \frac{4}{a} \right)$$\displaystyle = a \times \frac{16}{a ^{2}} - \frac{16 b}{a}$$\displaystyle = \frac{16}{a} - \frac{16 b}{a}$$\displaystyle = \frac{16}{a} \left( 1 - b \right) > 0$ 이므로 (**)을 만족시키지 않는다. ② $\displaystyle b \leq \frac{2 b}{a}$인 경우 $\displaystyle \frac{4}{a} \leq x \leq b$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $\displaystyle f \left( \frac{4}{a} \right) = \frac{16}{a} - \frac{16 b}{a}$ 이므로 $\displaystyle m = \frac{16}{a} - \frac{16 b}{a}$ 조건 (나)에서 $p \times m$$\displaystyle = - a \times \left( \frac{16}{a} - \frac{16 b}{a} \right)$$= - 64$ $- 16 + 16 b = - 64$ $b = - 3$ $\displaystyle b > \frac{4}{a}$에서 $\displaystyle - 3 > \frac{4}{a}$이고 $a$는 $0$보다 작은 정수이므로 $a = - 1$ $\displaystyle \frac{4}{a} \leq x \leq b$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값은 $f \left( b \right)$이고 $f \left( b \right)$$= f \left( - 3 \right)$$= - 9 - 36$$= - 45 < 0$ 이므로 (**)을 만족시킨다. 그러므로 ①, ②에서 $a = - 1$, $b = - 3$일 때 함수 $f \left( x \right)$는 주어진 조건을 만족시킨다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 식을 만족시키는 모든 순서쌍은 $\left( 2 , 4 \right)$, $\left( - 1 , - 3 \right)$이므로 $a _{1} \times b _{1} \times a _{2} \times b _{2} = 2 \times 4 \times \left( - 1 \right) \times \left( - 3 \right) = 24$