유리함수 대소 조건

[출제의도] 유리함수의 그래프와 수열의 합을 이용하여 문제를 해결한다. $\displaystyle f ( x ) = \frac{x + 2 n}{2 x - p}$$\displaystyle = \frac{\frac{1}{2} \left( 2 x - p \right) + \frac{p}{2} + 2 n}{2 x - p}$$\displaystyle = \frac{1}{2} + \frac{\frac{p}{2} + 2 n}{2 x - p}$ 이고 $\displaystyle \frac{p}{2} + 2 n > 0$이므로 $f ( 1 ) < f ( 5 ) < f ( 3 )$ …… ㉠ 이 성립하려면 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같아야 한다.

$\displaystyle 1 < \frac{p}{2} < 3$이어야 하므로 $2 < p < 6$에서 자연수 $p$의 최솟값 $m$은 $3$ 함수 $\displaystyle g ( x ) = \frac{2 x + n}{x + q}$$\displaystyle = \frac{2 \left( x + q \right) + n - 2 q}{x + q}$$\displaystyle = 2 + \frac{n - 2 q}{x + q}$ 이므로 곡선 $y = g ( x )$의 두 점근선의 방정식은 $x = \mathit{-} q$, $y = 2$ $p = 3$일 때 $\displaystyle f ( x ) = \frac{x + 2 n}{2 x - 3}$에 대하여 $x _{1} = f ( 1 ) = \mathit{-} 2 n - 1$ $\displaystyle x _{2} = f ( 5 ) = \frac{2 n + 5}{7}$ $\displaystyle x _{3} = f ( 3 ) = \frac{2 n + 3}{3}$ 이라 하면 ㉠으로부터 $x _{1} < x _{2} < x _{3}$ 이때 문제의 조건에서 $g ( x _{2} ) < g ( x _{3} ) < g ( x _{1} )$이 성립해야 하므로 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 다음과 같아야 한다.

그러므로 $x _{1} < \mathit{-} q < x _{2}$이고 $n - 2 q < 0$이어야 한다. 즉 $\displaystyle - 2 n - 1 < \mathit{-} q < \frac{2 n + 5}{7}$이고 $\displaystyle q > \frac{n}{2}$이어야 하므로 $\displaystyle \frac{n}{2} < q < 2 n + 1$ (ⅰ) $n = 2 l - 1$ ($l$은 자연수)일 때 $\displaystyle \frac{2 l - 1}{2} < q < 2 ( 2 l - 1 ) + 1$에서 $\displaystyle l - \frac{1}{2} < q < 4 l - 1$이므로 $q = l$, $l + 1$, $\cdots$, $4 l - 2$ 그러므로 정수 $q$의 개수는 $3 l - 1$ (ⅱ) $n = 2 l$ ($l$은 자연수)일 때 $\displaystyle \frac{2 l}{2} < q < 2 \times 2 l + 1$에서 $l < q < 4 l + 1$이므로 $q = l + 1$, $l + 2$, $\cdots$, $4 l$ 그러므로 정수 $q$의 개수는 $3 l$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a _{2 l - 1} = 3 l - 1$, $a _{2 l} = 3 l$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} a _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{l = 1} ^{10} \left( a _{2 l - 1} + a _{2 l} \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{l = 1} ^{10} \left( 3 l - 1 + 3 l \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{l = 1} ^{10} \left( 6 l - 1 \right)$$\displaystyle = 6 \sum\limits _{l = 1} ^{10} l - \sum\limits _{l = 1} ^{10} 1$$\displaystyle = 6 \times \frac{10 \times 11}{2} - 10$$= 330 - 10$ $= 320$