대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

육각기둥 막대자석

문제

그림과 같이 쇠구슬과 막대자석을 이용하여 육각기둥 모양을 $1$ 개 만드는 데 필요한 막대자석의 개수를 $a _{1}$ , 육각기둥 모양을 $3$ 개 만드는 데 필요한 막대자석의 개수를 $a _{2}$ , 육각기둥 모양을 $6$ 개 만드는 데 필요한 막대자석의 개수를 $a _{3}$ , $\vdots$ 이와 같은 과정을 계속하였을 때, $a _{10}$ 의 값은? [4점]

$\cdots$

① $530$ ② $531$ ③ $532$ ④ $533$ ⑤ $534$

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②

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해설

$a _{1} = 18$ $a _{2} = a _{1} + 9 \cdot 2 + 7 = a _{1} + 25$ $a _{3} = a _{2} + 12 \cdot 2 + 9 = a _{2} + 33$ $a _{4} = a _{3} + 15 \cdot 2 + 11 = a _{3} + 41$ $\vdots$ $a _{n + 1} = a _{n} + 25 + ( n - 1 ) \cdot 8 ( n \geq 1 )$ 따라서 $a _{10}$ 의 값을 구하면 $\displaystyle \begin{aligned} a _{10} & = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{9} ( 8 k + 17 ) \end{aligned}$ $\displaystyle = 18 + 8 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} + 17 \cdot 9 = 531$

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