유한소수 조건 증명

다음은 $0 < m < n$인 자연수 $m$, $n$에 대하여 기약분수 $\displaystyle \frac{m}{n}$이 소수점 아래 셋째 자리까지의 유한소수가 되기 위한 조건을 구하는 과정의 일부이다.

기약분수 $\displaystyle \frac{m}{n}$이 소수점 아래 셋째 자리까지의 유한소수라 할 때, $\displaystyle \frac{m}{n}$을 (가) 배 하면 정수가 된다. 이 정수를 $k$라 하면 $\displaystyle \frac{m}{n} \times$(가) $= k$이다. 이 때, $m$과 $n$은 서로소이므로, $n$은 (가) 의 약수이다. 따라서 $n$을 소인수분해하면 $n =$(나) 와 같이 된다. … (이하 생략) …

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) ①$m$ $5 ^{\alpha}$$\left( \alpha = 0 , 1 , 2 , 3 \right)$②$m$ $2 ^{\alpha} \cdot 5 ^{\beta}$$\left( \alpha = 0 , 1 , 2 , 3 , \beta = 0 , 1 , 2 , 3 \right)$③$10 ^{3}$ $2 ^{\alpha}$$\left( \alpha = 0 , 1 , 2 , 3 \right)$④$10 ^{3}$ $5 ^{\alpha}$$\left( \alpha = 0 , 1 , 2 , 3 \right)$⑤$10 ^{3}$ $2 ^{\alpha} \cdot 5 ^{\beta}$$\left( \alpha = 0 , 1 , 2 , 3 , \beta = 0 , 1 , 2 , 3 \right)$