여섯 자리 자연수 세기

[출제의도] 같은 것이 있는 순열의 수를 이용하여 자연수의 개수를 구하는 문제를 해결한다. 일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 $1$일 때, 나머지 네 자리에 $2$와 $3$이 적어도 하나씩 포함되는 경우는 다음과 같다. (ⅰ) $1$, $1$, $2$, $3$을 나열하는 경우 $4$개의 숫자를 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{4 !}{2 !} = 12$ (ⅱ) $1$, $2$, $2$, $3$ 또는 $1$, $2$, $3$, $3$을 나열하는 경우 $4$개의 숫자를 나열하는 경우의 수가 $\displaystyle \frac{4 !}{2 !} = 12$이므로 (ⅱ)의 경우의 수는 $2 \times 12 = 24$ (ⅲ) $2$, $2$, $2$, $3$ 또는 $2$, $3$, $3$, $3$을 나열하는 경우 $4$ 개의 숫자를 나열하는 경우의 수가 $\displaystyle \frac{4 !}{3 !} = 4$이므로 (ⅲ)의 경우의 수는 $2 \times 4 = 8$ (ⅳ) $2$, $2$, $3$, $3$ 을 나열하는 경우 $4$개의 숫자를 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{4 !}{2 ! \times 2 !} = 6$ (ⅰ) $( \mathrm{iv} )$에 의해 일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 $1$ 인 경우의 수는 $12 + 24 + 8 + 6 = 50$ 일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 $2$인 경우의 수와 $3$인 경우의 수도 같은 방법으로 생각하면 각각 $50$이다. 따라서 구하는 자연수의 개수는 $3 \times 50 = 150$