연속확률변수와 밀도함수

[출제의도] 연속확률변수의 확률밀도함수의 성질을 활용하여 문제 해결하기 확률밀도함수의 성질에 의하여 $\mathrm{P} \left( 0 \leq \mathit{X} \leq a \right) \mathit{=} 1$에서 $ab = 1$ $\cdots$ ㉠ $g \left( x \right) \mathit{=} \mathrm{P} \left( 0 \leq \mathit{X} \leq x \right) \mathit{=} bx$

확률밀도함수의 성질에 의하여 $\displaystyle \mathrm{P} \left( 0 \leq \mathit{Y} \leq a \right) \mathit{=} \frac{1}{2} \times a \times ab = \frac{a ^{2} b}{2} = 1$ $\cdots$ ㉡ 두 식 ㉠, ㉡을 연립하면 $a = 2$, $\displaystyle b = \frac{1}{2}$ 그러므로 $\displaystyle g \left( x \right) \mathit{=} \frac{1}{2} x$에서 $\displaystyle \mathrm{P} \left( 0 \leq \mathit{Y} \leq c \right) \mathit{=} \frac{1}{2} \times c \times \frac{c}{2} = \frac{c ^{2}}{4} = \frac{1}{2}$, $c ^{2} = 2$ 따라서 $\displaystyle \left( a + b \right) \times c ^{2} = \left( 2 + \frac{1}{2} \right) \times 2 = 5$