확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

연속확률변수 확률

문제

구간 $[ 0 , 3 ]$ 의 모든 실수값을 가지는 연속확률변수 $X$ 에 대하여 ${\mathrm{P}} ( x \leq X \leq 3 ) = a ( 3 - x ) ( 0 \leq x \leq 3 )$ 이 성립할 때, $\displaystyle {\mathrm{P}} ( 0 \leq X < a ) = \frac{q}{p}$ 이다. $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 는 상수이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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10

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해설

${\mathrm{P}} ( 0 \leq X \leq 3 ) = 1$ 이어야 하므로 ${\mathrm{P}} ( 0 \leq X \leq 3 ) = 3 a = 1$ $\displaystyle \therefore a = \frac{1}{3}$ $\displaystyle \therefore {\mathrm{P}} ( 0 \leq X < a ) = {\mathrm{P}} \left( 0 \leq X < \frac{1}{3} \right)$ $\displaystyle = {\mathrm{P}} ( 0 \leq X \leq 3 ) - {\mathrm{P}} \left( \frac{1}{3} \leq \mathit{X} \leq 3 \right)$ $\displaystyle = 1 - \frac{1}{3} \times \frac{8}{3} = \frac{1}{9}$ $\therefore p + q = 10$

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