확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

연속확률변수 독립시행

문제

연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f ( x )$ 가 다음과 같다. $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} x ( 0 \leq x \leq 2 )$ 매회의 시행에서 사건 $A$ 가 일어날 확률이 $\mathrm{P} ( 0 \leq X \leq 1 )$ 로 일정할 때, $3$ 회의 독립시행에서 사건 $A$ 가 $2$ 회 이상 일어날 확률을 $\displaystyle \frac{q}{p}$ 라 하자. $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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37

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해설

$\displaystyle P ( 0 \leq X \leq 1 ) = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ $\displaystyle {}_{3} C _{2} ( \frac{1}{4} ) ^{2} ( \frac{3}{4} ) + _{3} C _{3} ( \frac{1}{4} ) ^{3}$ $\displaystyle = 3 \times \frac{3}{64} + \frac{1}{64} = \frac{5}{32}$ $\therefore$ $p + q = 37$

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