미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

연속 조건 상수

문제

함수 f(x)={ex−sin⁡2x−a3x(x≠0)b(x=0)\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} \frac{e ^{x} - \sin 2 x - a}{3 x} & \left( x \ne 0 \right) ^{{} ^{}} \\ b ^{{} ^{}} & \left( x = 0 \right) ^{{} ^{}} \end{cases}} 가 x=0x = 0에서 연속일 때, 두 상수 aa, bb에 대하여 a+ba + b의 값은?[3점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②23\displaystyle \frac{2}{3}③11④43\displaystyle \frac{4}{3}⑤53\displaystyle \frac{5}{3}

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②

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해설

[출제의도] 함수의 연속의 정의 이해하기 lim⁡x→0ex−sin⁡2x−a3x=b\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{e ^{x} - \sin 2 x - a}{3 x}} = b이고 lim⁡x→03x=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {3 x} = 0이므로 lim⁡x→0(ex−sin⁡2x−a)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left( e ^{x} - \sin 2 x - a \right)} = 0 ∴\therefore a=1a = 1 lim⁡x→0ex−sin⁡2x−13x\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{e ^{x} - \sin 2 x - 1}{3 x}} =lim⁡x→013(ex−1x−2sin⁡2x2x)=−13\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{1}{3} \left( \frac{e ^{x} - 1}{x} - \frac{2 \sin 2 x}{2 x} \right)} = - \frac{1}{3} ∴\therefore b=−13\displaystyle b = - \frac{1}{3} 따라서 a+b=23\displaystyle a + b = \frac{2}{3}

태그

#지수함수의 극한#삼각함수의 극한

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