연속 자연수 제곱합

다음은 연속하는 $2 n + 1$개의 자연수 $a _{1}$, $a _{2}$, $a _{3}$, … , $a _{2 n + 1}$에 대하여 $a _{1} ^{2} + a _{2} ^{2} + a _{3} ^{2} + \cdot \cdot \cdot + a _{n + 1} ^{2} = a _{n + 2} ^{2} + a _{n + 3} ^{2} + a _{n + 4} ^{2} + \cdots + a _{2 n + 1} ^{2}$ 이 성립할 때, $a _{n + 1}$을 구하는 과정이다. 안에 알맞은 것은? (단, $n$은 자연수) [3점]

$a _{n + 1} = x$로 놓으면 $x$는 연속하는 $2 n + 1$개의 자연수 중에서 가운데 수이므로 $\displaystyle x ^{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( x - k ) ^{2} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( x + k ) ^{2}$ $\displaystyle x ^{2} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( x + k ) ^{2} - \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( x - k ) ^{2}$ 이 식을 정리하면 $x ^{2} =$ $x$ 그런데 $x \ne 0$이므로 $x =$

따라서 $a _{n + 1} =$

①$\displaystyle \frac{n ( n - 1 )}{2}$②$\displaystyle \frac{n ( n + 1 )}{2}$③$n ( n + 3 )$④$2 n ( n - 1 )$⑤$2 n ( n + 1 )$