대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

연속 자연수 제곱합

문제

11개의 연속하는 자연수를 작은 수부터 차례로 나열한 등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 ∑k=16ak2=∑k=711ak2\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{6} a _{k} ^{2} = \sum\limits _{k=7} ^{11} a _{k} ^{2} 을 만족시킬 때, a1a _{1}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] ∑\displaystyle \sum\limits 기호를 이용하여 등차수열의 첫째항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. a12+a22+⋯+a62=a72+a82+⋯+a112a _{1} ^{2} + a _{2} ^{2} + \cdots + a _{6} ^{2} = a _{7} ^{2} + a _{8} ^{2} + \cdots + a _{11} ^{2} a6=xa _{6} = x라 놓고 연속하는 자연수를 ∑\displaystyle \sum\limits로 표시하면 ∑k=15(x−k)2+x2=∑k=15(x+k)2\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{5} ( x - k ) ^{2} + x ^{2} = \sum\limits _{k=1} ^{5} ( x + k ) ^{2} x2=∑k=15(x+k)2−∑k=15(x−k)2=∑k=154kx=4x∑k=15k=4x5⋅62=60x\displaystyle \begin{aligned} x ^{2} = \sum\limits _{k=1} ^{5} ( x + k ) ^{2} - \sum\limits _{k=1} ^{5} ( x - k ) ^{2} \\ = \sum\limits _{k=1} ^{5} 4 kx = 4 x \sum\limits _{k=1} ^{5} k = 4 x \frac{5 \cdot 6}{2} = 60 x \end{aligned} 따라서 x=60x = 60이고 a1a _{1}은 6060에서 55만큼 작은 수이므로 60−5=5560 - 5 = 55이다. <참고> 552+562+⋯+602=612+622+⋯+65255 ^{2} + 56 ^{2} + \cdots + 60 ^{2} = 61 ^{2} + 62 ^{2} + \cdots + 65 ^{2}

태그

#제곱합#시그마

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