연속 홀수 합 귀납법

다음은 자연수 $n$에 대하여 $1 = 1 ^{3}$ $3 + 5 = 2 ^{3}$ $7 + 9 + 11 = 3 ^{3}$ $13 + 15 + 17 + 19 = 4 ^{3}$ $\vdots$ $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{n} ( 2 i + n ^{2} - n - 1 ) = n ^{3}$ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명] ⅰ) $n = 1$일 때, $2 \cdot 1 + 1 ^{2} - 1 - 1 = 1 ^{3}$이므로 성립한다. ⅱ) $n = k$일 때 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{k} ( 2 i + k ^{2} - k - 1 ) = k ^{3}$이다. $n = k + 1$일 때 성립함을 보이자. $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{k + 1}$ (가)

$\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{k} ( 2 i + k ^{2} - k - 1 ) + \sum\limits _{i = 1} ^{k} 2 k +$ (나)

$= k ^{3} + 3 k ^{2} + 3 k + 1$ $= ( k + 1 ) ^{3}$

그러므로 $n = k + 1$일 때도 성립한다. ⅰ), ⅱ)에 의해서 모든 자연수 $n$에 대하여 성립한다.

이 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [4점]