공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

연산장치와 최대공약수

문제

<그림1>의 연산장치 F\mathrm{F} 에 두 자연수 a,ba , b 를 입력하면 출력되는 두 수 c,dc , d 는 c=∣a−b∣c = \left| a - b \right|, d={a(a≤b)b(a>b)\displaystyle d = \begin{cases} a ( a \leq b ) \\ b ( a > b ) \end{cases} 이다.

<그림1>

이 장치에 360360 과 204204 를 입력하고, <그림2>와 같이 반복 작동시켜 출력되는 두 수 중 어느 한 수가 처음으로 00 이 될 때, 다른 한 수는? [3점]

<그림2>

①22②33③66④1212⑤2424

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④

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해설

[출제의도] 최대공약수 구하는 과정 추론하기 두 자연수 a,ba , b (a>b)( a > b )를 a=a′G,b=b′Ga = a' G , b = b' G (a′,b′a' , b'은 서로소인 자연수, GG 는 a,ba , b 의 최대공약수)라 하면 a−b=(a′−b′)Ga - b = ( a' - b' ) G 이고 b′b'과 a′−b′a' - b'이 서로소이므로 bb 와 a−ba - b 의 최대공약수는 GG이다. 360,204360 , 204를 입력하고 반복 작동시켜 두 수가 모두 1212(∵G(360,204)=12\because G ( 360 , 204 ) = 12)가 되면, 다음 작동에서는 00과 1212가 출력된다. 따라서, 구하는 수는 1212이다.

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#최대공약수#유클리드 호제법

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