공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

연산으로 정의한 행렬

문제

실수 x,yx , y 에 대하여 x⊚yx \circledcirc y 를 행렬 (xyyx)\displaystyle \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix} 로 정의할 때, <보기> 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

<보 기>
ㄱ. 임의의 실수 a,ba , b에 대하여 a⊚b=b⊚aa \circledcirc b = b \circledcirc a 가 성립한다. ㄴ. 임의의 실수 a,b,c,da , b , c , d에 대하여 (a⊚b)+(c⊚d)=(a+c)⊚(b+d)\left( a \circledcirc b \right) + \left( c \circledcirc d \right) = \left( a + c \right) \circledcirc \left( b + d \right)가 성립한다. ㄷ. 임의의 실수 a,b,ka , b , k에 대하여 (ka)⊚(kb)=k(a⊚b)( ka ) \circledcirc ( kb ) = k \left( a \circledcirc b \right)가 성립한다.

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄴ⑤ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. a⊚b=(abba)≠(baab)=b⊚a\displaystyle a \circledcirc b = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} b & a \\ a & b \end{pmatrix} = b \circledcirc a ㄴ. (a⊚b)+(c⊚d)\left( a \circledcirc b \right) + \left( c \circledcirc d \right) =(abba)+(cddc)\displaystyle = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c & d \\ d & c \end{pmatrix}=(a+cb+db+da+c)\displaystyle = \begin{pmatrix} a + c & b + d \\ b + d & a + c \end{pmatrix} =(a+c)⊚(b+d)= \left( a + c \right) \circledcirc \left( b + d \right) ㄷ. (ka)⊚(kb)( ka ) \circledcirc ( kb )=(kakbkbka)=k(abba)\displaystyle = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kb & ka \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}=k(a⊚b)= k \left( a \circledcirc b \right) 옳은 것은 ㄴ, ㄷ

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