대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

연립점화식에서 특정 항의 합

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}과 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 n≥2n \geq 2일 때, an=2an−1+bn−1a _{n} = 2 a _{n-1} + b _{n-1}과 bn=−3an−1−bn−1b _{n} = - 3 a _{n-1} - b _{n-1}을 만족하고 a1=b1=1a _{1} = b _{1} = 1이다. a100+b100a _{100} + b _{100}의 값은?

①−2- 2②−1- 1③00④11⑤22

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①

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해설

an=2an−1+bn−1⋯a _{n} = 2 a _{n - 1} + b _{n - 1} \cdots(1) bn=−3an−1−bn−1⋯b _{n} = - 3 a _{n - 1} - b _{n - 1} \cdots(2) 두 식을 더하면 an+bn=−an−1⋯a _{n} + b _{n} = - a _{n - 1} \cdots(3) 이 된다. 식 (1)과 (3)을 정리하면 an=an−1−an−2a _{n} = a _{n - 1} - a _{n - 2} (n≥3n \geq 3) a1=b1=1a _{1} = b _{1} = 1이므로 a1=1a _{1} = 1 a2=2a1+b1=3a _{2} = 2 a _{1} + b _{1} = 3 a3=a2−a1=3−1=2a _{3} = a _{2} - a _{1} = 3 - 1 = 2 a4=a3−a2=2−3=−1a _{4} = a _{3} - a _{2} = 2 - 3 = - 1 a5=a4−a3=(−1)−2=−3a _{5} = a _{4} - a _{3} = ( - 1 ) - 2 = - 3 a6=a5−a4=(−3)−(−1)=−2a _{6} = a _{5} - a _{4} = ( - 3 ) - ( - 1 ) = - 2 a7=a6−a5=−2−(−3)=1a _{7} = a _{6} - a _{5} = - 2 - ( - 3 ) = 1 a8=a7−a6=1−(−2)=3a _{8} = a _{7} - a _{6} = 1 - ( - 2 ) = 3 a9=a8−a7=3−1=2a _{9} = a _{8} - a _{7} = 3 - 1 = 2 ⋮\vdots 따라서, a100+b100=−a99=−2a _{100} + b _{100} = - a _{99} = - 2

태그

#연립점화식#규칙성

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