연립이차부등식 정수해

[출제의도] 연립부등식의 해 추론하기 $x ^{2} - a ^{2} x$$= x \left( x - a ^{2} \right) \geq 0$ 에서 $x \leq 0$ 또는 $x \geq a ^{2}$이고 $x ^{2} - 4 ax + 4 a ^{2} - 1$$= \left( x - \left( 2 a - 1 \right) \right) \left( x - \left( 2 a + 1 \right) \right) < 0$ 에서 $2 a - 1 < x < 2 a + 1$이다. ⅰ) $\displaystyle 0 < a < \frac{1}{2}$일 때 연립부등식의 해는 $- 1 < 2 a - 1 < x \leq 0$ 또는 $a ^{2} \leq x < 2 a + 1 < 2$ 인데 $\displaystyle 0 < a ^{2} < \frac{1}{4}$이고 $1 < 2 a + 1 < 2$이므로 $x = 0 , 1$의 $2$개 정수해가 존재한다.

ⅱ) $\displaystyle a = \frac{1}{2}$일 때 연립부등식의 해는 $\displaystyle \frac{1}{4} = a ^{2} \leq x < 2 a + 1 = 2$ 이므로 $x = 1$의 $1$개 정수해가 존재한다. ⅲ) $\displaystyle \frac{1}{2} < a < 1$일 때 연립부등식의 해는 $a ^{2} \leq x < 2 a + 1$ 인데 $\displaystyle \frac{1}{4} < a ^{2} < 1$이고 $2 < 2 a + 1 < 3$이므로 $x = 1 , 2$의 $2$개 정수해가 존재한다.

ⅳ) $a = 1$일 때 연립부등식의 해는 $1 = a ^{2} = 2 a - 1 < x < 2 a + 1 = 3$ 이므로 $x = 2$의 $1$개 정수해가 존재한다. ⅴ) $\displaystyle 1 < a < \sqrt{2}$일 때 연립부등식의 해는 $a ^{2} \leq x < 2 a + 1$ 인데 $1 < a ^{2} < 2$이고 $\displaystyle 3 < 2 a + 1 < 1 + 2 \sqrt{2} < 4$이므로 $x = 2 , 3$의 $2$개 정수해가 존재한다.

그러므로 ⅰ) ~ ⅴ)에 의해 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ 또는 $a = 1$일 때, $1$개 정수해가 존재한다. 따라서 모든 실수 $a$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{3}{2}$이다.