연립이차부등식 정수해

[출제의도] 연립이차부등식 이해하기 연립부등식 $\displaystyle {\begin{cases} x ^{2} - \left( a ^{2} - 3 \right) x - 3 a ^{2} < 0 \cdots \cdots \text{㉠} _{{}_{{}_{}}} \\ x ^{2} + \left( a - 9 \right) x - 9 a > 0 \cdots \cdots \text{㉡} \end{cases}}$ 에서 이차부등식 ㉠의 해는 $x ^{2} - \left( a ^{2} - 3 \right) x - 3 a ^{2} = \left( x - a ^{2} \right) \left( x + 3 \right) < 0$ 이고 $- 3 < x < a ^{2}$이다. $a > 2$이므로 이차부등식 ㉡의 해는 $x ^{2} + \left( a - 9 \right) x - 9 a = \left( x + a \right) \left( x - 9 \right) > 0$ 이고 $x > 9$ 또는 $x < \mathit{-} a$이다. $a ^{2} > 10$이면 연립부등식의 해에 $x = 10$이 포함되므로 정수 $x$가 존재한다. 그러므로 정수 $x$가 존재하지 않기 위한 $a$의 범위는 $a ^{2} \leq 10$에서 $\displaystyle 2 < a \leq \sqrt{10}$이다. 따라서 $a$의 최댓값 $\displaystyle M = \sqrt{10}$이므로 $M ^{2} = 10$이다.