공통수학1이차부등식과 연립이차부등식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

연립이차부등식 해의 길이

문제

xx에 대한 연립부등식 {x2−11x+24<0x2−2kx+k2−9>0\displaystyle {\begin{cases} x ^{2} - 11 x + 24 < 0 \\ x ^{2} - 2 kx + k ^{2} - 9 > 0 \end{cases}} 의 해가 α<x<β\alpha < x < \beta일 때, β−α=2\beta - \alpha = 2를 만족시키는 모든 실수 kk의 값의 합을 구하시오. [4점]

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해설

x2−11x+24=(x−3)(x−8)<0x ^{2} - 11 x + 24 = \left( x - 3 \right) \left( x - 8 \right) < 0이므로 3<x<83 < x < 8이다. x2−2kx+k2−9x ^{2} - 2 kx + k ^{2} - 9=x2−2kx+(k−3)(k+3)= x ^{2} - 2 kx + \left( k - 3 \right) \left( k + 3 \right) ={x−(k−3)}{x−(k+3)}>0= \left\{ x - \left( k - 3 \right) \right\} \left\{ x - \left( k + 3 \right) \right\} > 0 이므로 x<k−3x < k - 3 또는 x>k+3x > k + 3이다. (ⅰ) 3<k−3<83 < k - 3 < 8인 경우 k>6k > 6이므로 k+3>9k + 3 > 9이다.

연립부등식의 해가 3<x<k−33 < x < k - 3이므로 (k−3)−3=2( k - 3 ) - 3 = 2, k=8k = 8이다. (ⅱ) 3<k+3<83 < k + 3 < 8인 경우 k<5k < 5이므로 k−3<2k - 3 < 2이다.

연립부등식의 해가 k+3<x<8k + 3 < x < 8이므로 8−(k+3)=28 - ( k + 3 ) = 2, k=3k = 3이다. 따라서(ⅰ), (ⅱ)에 의해 모든 kk의 값의 합은 8+3=118 + 3 = 11이다.

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