연립이차부등식 해가 하나

$\displaystyle {\begin{cases} \left( x + 9 \right) \left( x - a ^{2} + 6 a \right) \leq 0 \cdots \cdots \text{㉠} \\ \left( x - 2 a \right) \left( x - 2 a + 16 \right) \leq 0 \cdots \cdots \text{㉡} \end{cases}}$ $\left( a ^{2} - 6 a \right) - \left( - 9 \right) = \left( a - 3 \right) ^{2}$이므로 $a = 3$이면 $a ^{2} - 6 a = - 9$이고, $a \neq 3$이면 $a ^{2} - 6 a > - 9$이다. (ⅰ) $a = 3$일 때 ㉠에서 $\left( x + 9 \right) ^{2} \leq 0$이므로 $x = - 9$, ㉡에서 $\left( x - 6 \right) \left( x + 10 \right) \leq 0$이므로 $- 10 \leq x \leq 6$ 그러므로 연립부등식을 만족시키는 실수 $x$의 값은 $\mathrm{-} 9$뿐이다. (ⅱ) $a \neq 3$일 때 ㉠에서 $- 9 \leq x \leq a ^{2} - 6 a$, ㉡에서 $2 a - 16 \leq x \leq 2 a$ 이므로 연립부등식을 만족시키는 실수 $x$가 오직 하나 존재하려면 $2 a = - 9$이거나 $a ^{2} - 6 a = 2 a - 16$이어야 한다. $2 a = - 9$이면 $\displaystyle a = - \frac{9}{2}$, $a ^{2} - 8 a + 16 = \left( a - 4 \right) ^{2} = 0$이면 $a = 4$ 이므로 연립부등식을 만족시키는 실수 $x$가 오직 하나 존재하도록 하는 실수 $a$의 값은 $\displaystyle - \frac{9}{2}$, $4$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 연립부등식을 만족시키는 실수 $x$가 오직 하나 존재하도록 하는 모든 실수 $a$의 값의 합은 $\displaystyle 3 + \left( - \frac{9}{2} \right) + 4 = \frac{5}{2}$