연립이차방정식 최댓값

$\displaystyle {\begin{cases} x ^{2} - 3 xy + 2 y ^{2} = 0 & \cdots \text{㉠} \\ 2 x ^{2} - y ^{2} = 2 & \cdots \text{㉡} \end{cases}}$ $\text{㉠}$의 좌변을 인수분해하면 $\left( x - y \right) \left( x - 2 y \right) = 0$에서 $y = x$ 또는 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$ i) $y = x$일 때 $\text{㉡}$에 대입하면 $x ^{2} = 2$, $y ^{2} = 2$ 따라서 $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 4$ ii) $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$일 때 $\text{㉡}$에 대입하면 $\displaystyle x ^{2} = \frac{8}{7}$, $\displaystyle y ^{2} = \frac{2}{7}$ 따라서 $\displaystyle \alpha ^{2} + \beta ^{2} = \frac{10}{7}$ i), ii)에서 $\alpha ^{2} + \beta ^{2}$의 최댓값은 $4$