연립부등식 순서쌍

$\displaystyle {\begin{cases} \left( mx - 3 \right) \left( x + m \right) \geq 0 & & \cdots \cdots \text{㉠} \\ \left( x - n \right) \left( x - 3 \right) < 0 & & \cdots \cdots \text{㉡} \end{cases}}$ ㉠의 해는 $m > 0$일 때, $x \leq - m$ 또는 $\displaystyle x \geq \frac{3}{m}$ $m < 0$일 때, $\displaystyle \frac{3}{m} \leq x \leq - m$ ㉡의 해는 $n = 3$일 때, 해가 없다. $n < 3$일 때, $n < x < 3$ $n > 3$일 때, $3 < x < n$ 이므로 $1 \leq n \leq 10$에서 정수인 해를 가지는 경우는 $n = 1$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$ 연립부등식의 정수인 해의 개수가 $1$이 될 때는 (ⅰ) $m > 0$인 경우 $n = 1$일 때, $m = 2$, $3$, $4$, $5$이므로 순서쌍 $\left( m , n \right)$의 개수는 $4$ $n = 5$일 때, $m = 1$, $2$, $3$, $4$, $5$이므로 순서쌍 $\left( m , n \right)$의 개수는 $5$ (ⅱ) $m < 0$인 경우 $n = 1$일 때, $m = - 5$, $- 4$, $- 3$, $- 2$이므로 순서쌍 $\left( m , n \right)$의 개수는 $4$ $n = 5$일 때, $m = - 5$, $- 4$이므로 순서쌍 $\left( m , n \right)$의 개수는 $2$ $n = 6$, $7$, $8$, $9$, $10$일 때, $m = - 4$이므로 순서쌍 $\left( m , n \right)$의 개수는 $5$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 순서쌍 $\left( m , n \right)$의 개수는 $4 + 5 + 4 + 2 + 5 = 20$