연립부등식 정수해

$\displaystyle {\begin{cases} \left| x - 6 \right| \leq 3 & & \cdots \cdots \text{㉠} \\ x ^{2} - \left( 4 a + 1 \right) x + 3 a ^{2} + a \leq 0 & & \cdots \cdots \text{㉡} \end{cases}}$ ㉠의 해는 $3 \leq x \leq 9$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉡에서 $\left( x - a \right) \left\{ x - \left( 3 a + 1 \right) \right\} \leq 0$ (ⅰ) $\displaystyle a \leq - \frac{1}{2}$인 경우 $3 a + 1 \leq x \leq a$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ ㉢과 ㉣을 동시에 만족시키는 정수 $x$는 존재하지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle a > - \frac{1}{2}$인 경우 $a \leq x \leq 3 a + 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉤ ㉤에서 $a = 1$일 때, $1 \leq x \leq 4$이므로 ㉢과 ㉤을 동시에 만족시키는 정수 $x$는 $3$, $4$ $a = 8$일 때, $8 \leq x \leq 25$이므로 ㉢과 ㉤을 동시에 만족시키는 정수 $x$는 $8$, $9$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a = 1$, $a = 8$일 때, 정수 $x$의 개수가 $2$이다. 따라서 모든 정수 $a$의 값의 합은 $9$