연립부등식 정수해

$x ^{2} - 2 x - 3 \geq 0$에서 $\left( x + 1 \right) \left( x - 3 \right) \geq 0$ $x \leq - 1$ 또는 $x \geq 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ (ⅰ) $- a < a - 2$, 즉 $a > 1$인 경우 $\left( x + a \right) \left( x - a + 2 \right) < 0$에서 $- a < x < a - 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 주어진 부등식을 만족시키는 정수 $x$의 개수가 $6$이므로, $\left( a - 2 \right) - \left( - a \right) - 1 = 2 a - 1 \geq 6$ $\displaystyle a \geq \frac{7}{2}$이고, $- a < - 1$ ① $a - 2 \leq 3$, 즉 $a \leq 5$인 경우 ㉠, ㉡에서 연립부등식의 해는 $- a < x \leq - 1$ 따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 $x$의 개수는 $- 1 - \left( - a \right) = a - 1$ $a \leq 5$이므로 $a - 1$은 $6$이 될 수 없다. ② $a - 2 > 3$, 즉 $a > 5$인 경우 ㉠, ㉡에서 연립부등식의 해는 $- a < x \leq - 1$ 또는 $3 \leq x < a - 2$이고 정수 $x$의 개수는 $\left\{ - 1 - \left( - a \right) \right\} + \left\{ \left( a - 2 \right) - 3 \right\} = \left( a - 1 \right) + \left( a - 5 \right) = 2 a - 6$ $2 a - 6 = 6$에서 $a = 6$

(ⅱ) $- a = a - 2$, 즉 $a = 1$인 경우 $\left( x + a \right) \left( x - a + 2 \right) < 0$을 만족시키는 정수 $x$의 개수는 $0$이므로, 조건을 만족시키지 않는다. (ⅲ) $- a > a - 2$, 즉 $a < 1$인 경우 $\left( x + a \right) \left( x - a + 2 \right) < 0$ $a - 2 < x < - a$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 주어진 부등식을 만족시키는 정수 $x$의 개수가 $6$이므로, $\left( - a \right) - \left( a - 2 \right) - 1 = - 2 a + 1 \geq 6$ $\displaystyle a \leq - \frac{5}{2}$이고 $a$는 정수이므로 $a \leq - 3$ $a - 2 < - 1$, $3 \leq - a$이므로 ㉠, ㉢에서 연립부등식의 해는 $a - 2 < x \leq - 1$ 또는 $3 \leq x < - a$이고 정수 $x$의 개수는 $\left\{ - 1 - \left( a - 2 \right) \right\} + \left\{ \left( - a \right) - 3 \right\}$$= \left( - a + 1 \right) + \left( - a - 3 \right)$ $= - 2 a - 2$ $- 2 a - 2 = 6$에서 $a = - 4$

(ⅰ)$\sim$(ⅲ)에서 주어진 조건을 만족시키는 모든 정수 $a$의 값은 $6$, $- 4$이고 그 합은 $2$