연립방정식 행렬 넓이

[출제의도] 연립일차방정식과 행렬을 활용하여 문제 해결하기 $x$, $y$에 대한 연립일차방정식 $\displaystyle {\begin{cases} ax + by = p _{{} _{{} _{}}} \\ cx + dy = q ^{{} ^{{} ^{}}} \end{cases}}$가 오직 한 쌍의 해 $x = \alpha$, $y = \beta$를 가지므로 $ad - bc \ne 0$이고 $\displaystyle {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}}$ $\cdots \cdots$㉠ 주어진 연립방정식 $\displaystyle {\begin{pmatrix} b & a \\ d & c \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}}$ $\cdots \cdots$㉡ ㉠과 ㉡에서 $\displaystyle {\begin{pmatrix} b & a \\ d & c \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}}$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = \frac{1}{bc - ad} {\begin{pmatrix} c & - a \\ - d & b \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}}$ $\displaystyle \therefore {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} \beta \\ \alpha \end{pmatrix}}$ $\therefore x _{1} = \beta$, $y _{1} = \alpha$ ㉡의 해가 $x = \beta$, $y = \alpha$이므로 $\displaystyle {\begin{pmatrix} b & a \\ d & c \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} \beta \\ \alpha \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}}$ $\displaystyle \therefore {\begin{pmatrix} b & a \\ d & c \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} - \beta \\ - \alpha \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - p \\ - q \end{pmatrix}}$ 주어진 연립방정식 $\displaystyle {\begin{pmatrix} b & a \\ d & c \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - p \\ - q \end{pmatrix}}$에서 $\displaystyle {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - \beta \\ - \alpha \end{pmatrix}}$ $\therefore x _{2} = - \beta$, $y _{2} = - \alpha$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 20$이므로 세 점 $\mathrm{A} \mathit{\left( \alpha , \beta \right)}$, $\mathrm{B} \mathit{\left( \beta , \alpha \right)}$, $\mathrm{C} \mathit{\left( - \beta , - \alpha \right)}$는 원 $x ^{2} + y ^{2} = 100$ 위의 점이다. 점 $\mathrm{A}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 밑변이 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$, 높이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = 10$일 때 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 최대이다.

$\mathrm{A} \left( \alpha , \beta \right)$ $\mathrm{C} \left( - \beta , - \alpha \right)$ $\mathrm{B} \left( \beta , \alpha \right)$

따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 20 \times 10 = 100$ [참고] 그림과 같이 $\mathrm{A}$$\left( 10 , 0 \right)$일 때, $\mathrm{B}$$\left( 0 , 10 \right)$, $\mathrm{C}$$\left( 0 , - 10 \right)$이고, 이때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 최대이다.

$\mathrm{A} \left( 10 , 0 \right)$ $\mathrm{C} \left( 0 , - 10 \right)$ $\mathrm{B} \left( 0 , 10 \right)$

이 이외에 점 $\mathrm{A}$의 좌표가 $\left( 0 , 10 \right)$, $\left( - 10 , 0 \right)$, $\left( 0 , - 10 \right)$일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 최대이다.