연립방정식 해 조건

[출제의도] 행렬을 이용하여 연립일차방정식의 해의 조건에 맞는 값을 구한다. 주어진 연립방정식을 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 5 - k & 4 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$ $\cdots$㉠ 이라 하면 ㉠이 $x = 0$, $y = 0$ 이외의 해를 가져야 하므로 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 5 - k & 4 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}}$의 역행렬이 존재하지 않아야 한다. 왜냐하면 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 5 - k & 4 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}}$이 역행렬을 가진다고 가정하면 다음과 같은 모순이 생긴다. 이 행렬의 역행렬을 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 5 - k & 4 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}} ^{- 1}$이라 하자. 이 역행렬을 ㉠의 양변의 왼쪽에 곱하면 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 5 - k & 4 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}} ^{- 1} {\begin{pmatrix} 5 - k & 4 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 5 - k & 4 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}} ^{- 1} {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$ 즉, $\displaystyle {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 5 - k & 4 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}} ^{- 1} {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$이 되어 해는 $x = 0$, $y = 0$ 뿐이다. 이는 ㉠이 $x = 0$, $y = 0$ 이외의 해를 갖는다는 조건에 모순이므로 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 5 - k & 4 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}}$의 역행렬이 존재하지 않아야 한다. 따라서 $( 5 - k ) \times 3 - 4 \times 3 = 0$ $\therefore$$k = 1$ [다른풀이] 주어진 연립방정식 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 5 - k & 4 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$ 을 정리하면 $\displaystyle {\begin{cases} ( 5 - k ) x + 4 y = 0 & \\ 3 x + 3 y = 0 & \end{cases}}$ 와 같이 나타낼 수 있다. 이 연립방정식이 $x = 0$, $y = 0$ 이외의 해를 가져야 하므로 해가 무수히 많아야 한다. $3 x + 3 y = 0$에서 $y = - x$이므로 이를 $( 5 - k ) x + 4 y = 0$에 대입하여 $x$에 관하여 정리하면, $( 1 - k ) x = 0$ 위 등식이 $x$의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 $1 - k = 0$ $\therefore$$k = 1$