확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

연필과 볼펜 나누기

문제

연필 $7$ 자루와 볼펜 $4$ 자루를 다음 조건을 만족시키도록 여학생 $3$ 명과 남학생 $2$ 명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 연필끼리는 서로 구별하지 않고, 볼펜끼리도 서로 구별하지 않는다.) [4점]

(가) 여학생이 각각 받는 연필의 개수는 서로 같고, 남학생이 각각 받는 볼펜의 개수도 서로 같다. (나) 여학생은 연필을 $1$ 자루 이상 받고, 볼펜을 받지 못하는 여학생이 있을 수 있다. (다) 남학생은 볼펜을 $1$ 자루 이상 받고, 연필을 받지 못하는 남학생이 있을 수 있다.

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해설

주어진 조건을 표로 나타내면 다음과 같다.

여학생	$A$	$B$		$C$	합
연필	$s$ 개	$s$ 개		$s$ 개	$3 s$ 개
볼펜					$4 - 2 t$

남학생	$a$		$b$		합
연필					$7 - 3 s$
볼펜	$t$ 개		$t$ 개		$2 t$ 개

(1) 여학생이 연필을 $1$ 개씩 받으면 남학생 $2$ 명이 연필 $4$ 개를 나누어 가지므로 ${} _{2} \mathrm{H} _{4} = 5$ 가지 (2) 여학생이 연필을 $2$ 개씩 받으면 남학생이 남은 연필을 나누어 가지는 경우는 ${} _{2} \mathrm{H} _{1} = 2$ 따라서 남학생과 여학생이 연필을 나누어 갖는 경우는 $7$ 가지 (3) 남학생이 볼펜을 $1$ 개씩 받으면 여학생이 남은 볼펜을 나누어 가지는 경우는 ${} _{3} \mathrm{H} _{2} = 6$ (4) 남학생이 볼펜을 $2$ 개씩 받으면 여학생이 남은 볼펜을 나누어 가지는 경우는 ${} _{3} \mathrm{H} _{0} = 1$ 따라서 남학생과 여학생이 볼펜을 나누어 갖는 경우는 $7$ 가지 그러므로 조건을 만족하는 경우의 수는 $49$ 가지

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