연필·공책 나누기

(ⅰ) 학생 $\mathrm{A}$가 받은 연필의 개수가 $5$이고, 공책보다 연필을 더 많이 받는 학생이 $\mathrm{A}$뿐일 때 공책 $5$권을 네 명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수에서 학생 $\mathrm{A}$가 공책 $5$권을 모두 가져가는 경우의 수를 빼주면 되므로 $\mathrm{_{4}} \mathrm{H} _{5} - 1 = _{8} C _{3} - 1 = 55$ (ⅱ) 학생 $\mathrm{A}$가 받은 연필의 개수가 $4$이고, 공책보다 연필을 더 많이 받는 학생이 $\mathrm{A}$뿐일 때 나머지 연필 한 개를 학생 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에게 나누어 주는 경우의 수는 $3$ 이때 연필 한 개를 받은 학생에게 공책을 한 개 주고, 학생 $\mathrm{A}$를 포함한 네 명의 학생에게 나머지 공책 $4$권을 나누어 주는 경우의 수에서 학생 $\mathrm{A}$가 공책 $4$권을 모두 가져가는 경우의 수를 빼주면 되므로 $\mathrm{\mathrm{_{4}}} H _{4} - 1 = _{7} C _{3} - 1 = 34$ 따라서 구하는 경우의 수는 $3 \times 34 = 102$ (ⅲ) 학생 $\mathrm{A}$가 받은 연필의 개수가 $4$이고, 공책보다 연필을 더 많이 받는 학생이 $\mathrm{A}$가 아닐 때 나머지 연필 한 개를 학생 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에게 나누어 주는 경우의 수는 $3$ 학생 $\mathrm{A}$에게 공책 $4$권을 준 후, 연필 한 개를 받은 학생을 제외한 $3$명의 학생에게 나머지 공책 $1$권을 나누어 주는 경우의 수는 $3$ 따라서 구하는 경우의 수는 $3 \times 3 = 9$ 이상에서 네 명의 학생에게 같은 종류의 연필 $5$자루와 같은 종류의 공책 $5$권을 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 $55 + 102 + 9 = 166$