공통수학1연립일차부등식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

영역과 직선을 이용한 k의 최댓값과 최솟값의 합

문제

집합 $C = \left\{ ( x , y ) | x + 2 y \leq 30 , 3 x + 2 y \leq 50 , x \geq 0 , y \geq 0 \right\}$ 와 집합 $M _{k} = \left\{ ( x , y ) | x + y = k \right\}$ (단, $k = 0 , 1 , 2 , 3 , \cdots$ ) 에 대하여 $C \cap M _{k} \ne \emptyset$ 인 $k$ 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값의 합은?

① $10$ ② $15$ ③ $\displaystyle \frac{50}{3}$ ④ $20$ ⑤ $25$

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④

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해설

집합 $C$ 의 영역을 좌표평면에 표시하면 아래 그림과 같다.

따라서, 조건 $C \cap M _{k} \ne \emptyset$ 을 만족하기 위해서 직선 $x + y = k$ 는 빗금 친 영역을 지나야 한다. 직선 $x + y = k$ 가 점 $( 10 , 10 )$ 와 원점을 지날 때 $k$ 의 값은 각각 최댓값과 최솟값이다. 1) 점 $( 10 , 10 )$ 을 지날 때 : $x + y = 10 + 10 = k$ $\therefore k = 20$ 2) 원점을 지날 때 : $x + y = 0 + 0 = k$ $\therefore k = 0$ 따라서, 최대, 최소일 때의 $k$ 값의 합은 $\therefore 20 + 0 = 20$

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