영역에서 식의 최대최소

연립부등식 $\displaystyle {\begin{cases} x ^{2} + y ^{2} \leq 1 _{{}_{}} \\ y \leq x + 1 ^{} \end{cases}}$을 만족시키는 영역을 좌표평면 위에 나타내면 그림의 어두운 부분과 같다.

$y = 2 x + k$ $x ^{2} + y ^{2} = 1$ $y = x + 1$ $\displaystyle - \sqrt{5}$

$y - 2 x = k$라 하면 직선 $y = 2 x + k$는 기울기가 $2$이고 $y$절편이 $k$이다. 이 직선을 주어진 부등식의 영역과 만나도록 평행이동하면서 $k$의 값의 변화를 조사하면 직선 $y = 2 x + k$가 점 $\left( - 1 , 0 \right)$을 지날 때 최댓값을 갖고, 직선 $y = 2 x + k$와 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$이 제$4$사분면에서 접할 때 최솟값을 갖는다. $0 = 2 \times \left( - 1 \right) + k$에서 $k = 2$ $\therefore$ $M = 2$ 원의 중심 $\left( 0 , 0 \right)$과 직선 $y = 2 x + k$ 사이의 거리가 $1$이므로 $\displaystyle \frac{\left| k \right|}{\sqrt{4 + 1}} = 1$, $\displaystyle \left| k \right| = \sqrt{5}$ $\therefore$ $\displaystyle m = - \sqrt{5}$ 따라서 $\displaystyle M - m = 2 + \sqrt{5}$