대수지수함수와 로그함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

영역에서 지수식 최댓값

문제

실수 $x$ , $y$ 에 대하여 두 집합 $A$ , $B$ 를 $\displaystyle A = \left\{ \begin{array}{l} ( x , y ) \left| \begin{array}{l} {\begin{matrix} \\ \end{matrix}} x ^{2} + y ^{2} \leq 1 \end{array} \right\} \end{array} \right.$ $\displaystyle B = \left\{ \begin{array}{l} ( x , y ) \left| \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} | x | \leq 1 , | y | \leq 1 , xy \leq 0 \end{array} \right\} \end{array} \right.$ 라 하자. 집합 $A \cup B$ 의 임의의 원소 $( x , y )$ 에 대하여 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{3 x + 4 y}$ , $2 ^{3 x - 4 y}$ 의 최댓값을 각각 $M _{1}$ , $M _{2}$ 라 할 때, $M _{1} + M _{2}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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160

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해설

[출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 지수함수의 최댓값을 구한다. 집합 $A \cup B$ 를 나타내는 영역은 그림과 같다.

$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{3x+4y}$ 에서 $\displaystyle 0 < \frac{1}{2} < 1$ 이므로 $3 x + 4 y$ 가 최솟값을 가질 때, $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{3x+4y}$ 은 최댓값을 갖는다. $3 x + 4 y = k$ 로 놓으면 직선 $\displaystyle y = - \frac{3}{4} x + \frac{k}{4}$ 가 제 $3$ 사분면에서 원과 접할 때, $k$ 의 값이 최소이다.

따라서 $\displaystyle \frac{| - k |}{\sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}}} = 1$ , $k = - 5$ (∵ $k < 0$ ) ∴ $M _{1} =$ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{-5} = 32$ 또, $2 ^{3x-4y}$ 에서 $2 > 1$ 이므로 $3 x - 4 y$ 가 최댓값을 가질 때, $2 ^{3x-4y}$ 은 최댓값을 갖는다. $3 x - 4 y = k$ 로 놓으면 직선 $\displaystyle y = \frac{3}{4} x - \frac{k}{4}$ 가 점 $( 1 , - 1 )$ 을 지날 때, $k$ 의 값이 최대이다.

$k = 3 \cdot 1 - 4 \cdot ( - 1 ) = 7$ ∴ $M _{2} =$ $2 ^{7} = 128$ 따라서 $M _{1} + M _{2} = 32 + 128 = 160$

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