영역 위 두 점의 기울기 범위

영역 $\mathrm{D}$는 세 부등식 $x > 0 , y \geq - x , y \leq 2 x$를 만족시키는 점 $\left( x , y \right)$들의 모임이고, 두 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{a} , b \right)$, $\mathrm{Q} \left( \mathit{c} , d \right)$는 $\mathrm{D}$에 속하므로 $a > 0 , c > 0$ $\therefore a + c > 0 \cdots \cdots \text{㉠}$ $b \geq - a , d \geq - c$ $\therefore b + d \geq - \left( a + c \right) \cdots \cdots \text{㉡}$ $b \leq 2 a , d \leq 2 c$ $\therefore b + d \leq 2 \left( a + c \right) \cdots \cdots \text{㉢}$ ㉠, ㉡으로부터 $\displaystyle \frac{b + d}{a + c} \geq - 1$이고, ㉠, ㉢으로부터 $\displaystyle \frac{b + d}{a + c} \leq 2$ 즉, $\displaystyle \frac{b + d}{a + c}$의 최댓값, 최솟값은 각각 $2 , - 1$이므로 구하는 최댓값과 최솟값의 차이는 $3$이다.