대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

영역 속 정사각형 개수

문제

$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면에서 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 네 꼭짓점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표는 모두 자연수이다. (나) 네 꼭짓점은 모두 부등식 $\displaystyle \frac{y - 10}{4} \leq x \leq n$ 이 나타내는 영역에 포함된다.

서로 다른 정사각형의 개수를 $a _{n}$ 이라 할 때, $a _{2} + a _{6}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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118

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해설

[출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 수열의 항을 구한다. $\displaystyle \frac{y - 10}{4} \leq x \leq n$ 에서 $\displaystyle \frac{y - 10}{4} \leq x$ 이고 $x \leq n$ 즉, $y \leq 4 x + 10$ 이고 $x \leq n$ 이다. 이때 정사각형의 왼쪽 아래의 꼭짓점의 $x$ 좌표가 $k$ ( $1 \leq k \leq n - 1$ )이고 주어진 부등식의 영역에 포함되는 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형의 개수는 $4 k + 9$ 이므로 $a _{n}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ( 4 k + 9 )$ $\displaystyle = 4 \times \frac{( n - 1 ) n}{2} + 9 ( n - 1 )$ $= ( 2 n + 9 ) ( n - 1 )$ 따라서 $a _{2} = 13$ , $a _{6} = 105$ 이므로 $a _{2} + a _{6} = 118$

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