영역 속 격자점의 합

[출제의도] $\Sigma$의 성질을 이용하여 주어진 문제를 해결한다. 자연수 $n$에 대하여 직선 $x = n$과 영역 $S$가 만나는 점 중 $y$좌표가 정수인 점들은 $\left( n , 1 \right)$, $\left( n , 2 \right)$, $\left( n , 3 \right)$, $\cdots$ , $\left( n , 2 n \right)$ 이 점들의 $x$좌표의 합은 $n \times 2 n = 2 n ^{2}$이고, $y$좌표의 합은 $1 + 2 + 3 + \cdots + 2 n$ 그러므로 $a _{n}$$\displaystyle = 2 n ^{2} + \sum\limits _{k=1} ^{2n} k$$\displaystyle = 2 n ^{2} + \frac{2 n \left( 2 n + 1 \right)}{2}$$= 4 n ^{2} + n$ 따라서 $a _{10} - a _{5}$$= \left( 4 \times 10 ^{2} + 10 \right) - \left( 4 \times 5 ^{2} + 5 \right)$$= 305$