영역 포함 조건 최솟값

[출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 집합의 포함 관계를 만족하는 실수의 최솟값을 구한다. 두 집합 $A$, $B$의 원소들을 좌표평면 위에 나타낼 때, 집합 $A$가 나타내는 영역을 $D$, 집합 $B$가 나타내는 영역을 $E$라 하자. 부등식 $a \leq x \leq y \leq a + 1$의 해는 연립부등식 $a \leq x \leq a + 1$, $a \leq y \leq a + 1$, $x {\leq} y$ 의 해와 일치한다. 따라서 그림에서 영역 $D$는 곡선 $y = 2 - x ^{2}$ 및 그 아랫부분이고, 영역 $E$는 빗변의 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$이고, 빗변이 직선 $y = x$ 위에 있는 직각이등변삼각형과 그 내부이다. 이때, 직각이등변삼각형의 왼쪽 위의 점을 $\mathrm{P}$, 오른쪽 위의 점을 $\mathrm{Q}$라 하면 두 점의 좌표는 각각 $( a , a + 1 )$, $( a + 1 , a + 1 )$이다. $A \cap B = B$이면 $B \subset A$이므로 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 영역 $D$에 속하면 된다. (ⅰ) 점 $\mathrm{P}$$( a , a + 1 )$이 영역 $D$에 속하려면 $a + 1 \leq 2 - a ^{2}$ $a ^{2} + a - 1 \leq 0$ 이므로 $\displaystyle \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \leq a \leq \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ (ⅱ) 점 $\mathrm{Q}$$( a + 1 , a + 1 )$이 영역 $D$에 속하려면 $a + 1 \leq 2 - ( a + 1 ) ^{2}$ $( a + 1 ) ^{2} + ( a + 1 ) - 2 \leq 0$ $( a + 1 + 2 ) ( a + 1 - 1 ) \leq 0$ $a ( a + 3 ) \leq 0$ 이므로 $- 3 \leq a \leq 0$ (ⅰ), (ⅱ) 를 동시에 만족하는 $a$의 값의 범위는 $\displaystyle \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \leq a \leq 0$이므로 $a$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$

[다른풀이] 두 집합 $A$, $B$의 원소들을 좌표평면 위에 나타낼 때, 집합 $A$가 나타내는 영역을 $D$, 집합 $B$가 나타내는 영역을 $E$라 하자. 부등식 $a \leq x \leq y \leq a + 1$의 해는 연립부등식 $a \leq x \leq a + 1$, $a \leq y \leq a + 1$, $x {\leq} y$ 의 해와 일치한다. 따라서 그림에서 영역 $D$는 곡선 $y = 2 - x ^{2}$ 및 그 아랫부분이고, 영역 $E$는 빗변의 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$이고, 빗변이 직선 $y = x$ 위에 있는 직각이등변삼각형과 그 내부이다. 이때, 직각이등변삼각형의 왼쪽 위의 점을 $\mathrm{P}$라 하면 점 $\mathrm{P}$는 직선 $y = x + 1$ 위의 점이다. 이차함수 $y = 2 - x ^{2}$의 그래프가 위로 볼록이고, $A \cap B = B$이면 $B \subset A$이므로 $a$의 최솟값은 이차함수 $y = 2 - x ^{2}$의 그래프와 직선 $y = x + 1$이 만나는 점의 $x$좌표 중 작은 값이다. $2 - x ^{2} = x + 1$ $x ^{2} + x - 1 = 0$ $\displaystyle x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$ 이므로 $a$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$이다.