미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

영역 넓이 급수

문제

연립부등식 {x2+y2≤(1n)2∣x∣+∣y∣≥1n\displaystyle \begin{cases} x ^{2} + y ^{2} \leq \left( \frac{1}{n} \right) ^{2} \\ | x | + | y | \geq \frac{1}{n} \end{cases} (n≥1n \geq 1) 의 해 (x,y)( x , y )가 나타내는 영역의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, 20π−2∑n=1∞SnSn+2\displaystyle \frac{20}{\pi - 2} \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \sqrt{S _{n} S _{n+2}}의 값을 구하시오. [4점]

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15

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해설

[출제의도] 연립부등식의 영역으로 주어진 도형과 관련된 무한급수의 문제를 해결한다.

SnS _{n}=π(1n)2−12⋅2n⋅1n⋅2\displaystyle = \pi \left( \frac{1}{n} \right) ^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot 2=π−2n2\displaystyle = \frac{\pi - 2}{n ^{2}}이므로 Sn+2=π−2(n+2)2\displaystyle S _{n+2} = \frac{\pi - 2}{( n + 2 ) ^{2}} 20π−2∑n=1∞SnSn+2\displaystyle \frac{20}{\pi - 2} \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \sqrt{S _{n} S _{n + 2}}=20π−2∑n=1∞π−2n2⋅π−2(n+2)2\displaystyle = \frac{20}{\pi - 2} \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \sqrt{\frac{\pi - 2}{n ^{2}} \cdot \frac{\pi - 2}{( n + 2 ) ^{2}}} =20∑n=1∞1n(n+2)\displaystyle = 20 \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{n ( n + 2 )}=20∑n=1∞12(1n−1n+2)\displaystyle = 20 \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right) =10lim⁡n→∞∑k=1n(1k−1k+2)\displaystyle = 10 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2} \right) =10lim⁡n→∞(1+12−1n+1−1n+2)\displaystyle = 10 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} \right)=10×(1+12)\displaystyle = 10 \times \left( 1 + \frac{1}{2} \right) =15= 15

태그

#급수#부분분수

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