공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

영양제 행렬 활용

문제

두 영양제 $\mathrm{M}$ , $\mathrm{N}$ 각각 한 알에 들어있는 칼슘 및 비타민의 양과 영양제의 가격은 표와 같다.

구분 영양제	칼슘 ( $\mathrm{mg}$ )	비타민 ( $\mathrm{mg}$ )	가격 (원)
$\mathrm{M}$	$2$	$6$	$150$
$\mathrm{N}$	$4$	$3$	$120$

어떤 사람이 두 영양제 $\mathrm{M}$ , $\mathrm{N}$ 으로 칼슘 $60 \mathrm{mg}$ , 비타민 $90 \mathrm{mg}$ 을 섭취하려고 한다. 섭취한 영양제 $\mathrm{M}$ , $\mathrm{N}$ 이 각각 $x$ , $y$ (알)이고, 그 때의 총 비용이 $p$ (원)일 때, $\displaystyle \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} 60 \\ 90 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle \begin{pmatrix} p \end{pmatrix} = B \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 가 성립한다. $\displaystyle BA = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ 일 때, $a + b$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

$\displaystyle \begin{cases} 2 x + 4 y = 60 \\ 6 x + 3 y = 90 \end{cases}$ , $\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 \\ 90 \end{pmatrix}$ $\displaystyle \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = {\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}} ^{- 1} \begin{pmatrix} 60 \\ 90 \end{pmatrix} = - \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 3 & - 4 \\ - 6 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 60 \\ 90 \end{pmatrix}$ ∴ $\displaystyle A = - \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 3 & - 4 \\ - 6 & 2 \end{pmatrix}$ 또한, $p = 150 x + 120 y$ 이므로 $\displaystyle \begin{pmatrix} p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 150 120 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ∴ $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 150 120 \end{pmatrix}$ 따라서 $BA$ $\displaystyle = - \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 150 120 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & - 4 \\ - 6 & 2 \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix} {15} {20} \end{pmatrix}$ $a = 15 , b = 20$ 이므로 $a + b = 35$

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