공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

영행렬이 되는 거듭제곱

문제

두 행렬 A=(a−11b),B=(−1−10−2)\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & - 1 \\ 1 & b \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} - 1 & - 1 \\ 0 & - 2 \end{pmatrix}에 대하여 AB+A=OAB + A = O를 만족시킬 때, A+A2+A3+⋯+A2010=(pqrs)\displaystyle A + A ^{2} + A ^{3} + \cdots + A ^{2010} = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} 이다. p2+q2+r2+s2p ^{2} + q ^{2} + r ^{2} + s ^{2}의 값을 구하시오. (단, OO는 영행렬이다.) [4점]

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4

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해설

[출제의도] 행렬의 연산을 이해하여 규칙성 추론하기 AB+A=OAB + A = O에 대입하여 정리하면 (1−a+b+11−1)=(a−11b),a=1,b=−1\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & - a + b + 1 \\ 1 & - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & - 1 \\ 1 & b \end{pmatrix} , a = 1 , b = - 1이므로 A=(1−11−1)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{pmatrix}이고 A2=OA ^{2} = O이다. 따라서 A+A2+⋯+A2010=A=(1−11−1)\displaystyle A + A ^{2} + \cdots + A ^{2010} = A = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{pmatrix} 이므로 p=1,q=−1,r=1,s=−1p = 1 , q = - 1 , r = 1 , s = - 1 따라서 p2+q2+r2+s2=4p ^{2} + q ^{2} + r ^{2} + s ^{2} = 4이다.

태그

#행렬의 거듭제곱#영행렬

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