미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

연분수 수열 극한

문제

무한수열 2+12\displaystyle 2 + \frac{1}{2}, 2+12+12\displaystyle 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}, 2+12+12+12\displaystyle 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}, ⋯\cdots 은 수렴하는 것으로 알려져 있다. 다음은 그 극한값을 구하는 과정이다.

주어진 수열을 {an}\left\{ a _{n} \right\}이라 하면 a1=2+12\displaystyle a _{1} = 2 + \frac{1}{2}이고 an+1=a _{n + 1} = □(가)+1an\displaystyle \square {( \text{가} )} + \frac{1}{a _{n}}이다. 이 수열의 극한값을 xx라고 하면 lim⁡n→∞an=x\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = x, lim⁡n→∞an+1=x\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n + 1} = x이므로 x=x = □(가)+1x\displaystyle \square {( \text{가} )} + \frac{1}{x}이다. 따라서, 구하는 극한값은 □(나)\square {( \text{나} )} 이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) ①22 1+2\displaystyle 1 + \sqrt{2}②22 2+2\displaystyle 2 + \sqrt{2}③22 3+2\displaystyle 3 + \sqrt{2}④11 5+12\displaystyle \frac{\sqrt{5} + 1}{2}⑤11 5−12\displaystyle \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

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①

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해설

lim⁡n→∞an=x\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = x라 하면 an+1=a _{n + 1} =□2+1an\displaystyle \square {2} + \frac{1}{a _{n}}에서 x=x =□2+1x\displaystyle \square {2} + \frac{1}{x}, x2−2x−1=0x ^{2} - 2 x - 1 = 0 근의 공식에 의하여 x=1±2\displaystyle x = 1 \pm \sqrt{2} x>2x > 2이므로, x=□1+2\displaystyle x = \square {1 + \sqrt{2}}

태그

#수열의 극한#점화식#빈칸추론

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