대수수학적 귀납법AI기본 문제 (3점 중반)

연분수 꼴로 정의된 수열의 항

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 10−3=16+a1=16+16+a2=16+16+16+a3=⋯\displaystyle \sqrt{10} - 3 = \frac{1}{6 + a _{1}} = \frac{1}{6 + \frac{1}{6 + a _{2}}} = \frac{1}{6 + \frac{1}{6 + \frac{1}{6 + a _{3}}}} = \cdots 을 만족시킬 때, a10+a20a _{10} + a _{20}의 값은? [3점] ①210−6\displaystyle 2 \sqrt{10} - 6②10−3\displaystyle \sqrt{10} - 3③6−210\displaystyle 6 - 2 \sqrt{10}④210\displaystyle 2 \sqrt{10}⑤210+6\displaystyle 2 \sqrt{10} + 6

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①

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해설

10−3=16+a1\displaystyle \sqrt{10} - 3 = \frac{1}{6 + a _{1}}에서 a1=110−3−6=(10+3)−6=10−3\displaystyle a _{1} = \frac{1}{\sqrt{10} - 3} - 6 = ( \sqrt{10} + 3 ) - 6 = \sqrt{10} - 3 또 주어진 식에서 16+a1=16+16+a2\displaystyle \frac{1}{6 + a _{1}} = \frac{1}{6 + \frac{1}{6 + a _{2}}}이므로 a1=16+a2\displaystyle a _{1} = \frac{1}{6 + a _{2}} 같은 방법으로 모든 자연수 nn에 대하여 an=16+an+1\displaystyle a _{n} = \frac{1}{6 + a _{n + 1}}, 즉 an+1=1an−6\displaystyle a _{n + 1} = \frac{1}{a _{n}} - 6 a2=110−3−6=10−3\displaystyle a _{2} = \frac{1}{\sqrt{10} - 3} - 6 = \sqrt{10} - 3 a3=110−3−6=10−3\displaystyle a _{3} = \frac{1}{\sqrt{10} - 3} - 6 = \sqrt{10} - 3 같은 계산이 되풀이되므로 모든 자연수 nn에 대하여 an=10−3\displaystyle a _{n} = \sqrt{10} - 3 따라서 a10+a20=210−6\displaystyle a _{10} + a _{20} = 2 \sqrt{10} - 6이므로 답은 ①

태그

#연분수#대칭 점화식#유리화

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