연분수 꼴 수열

$\displaystyle \sqrt{17} - 4 = \frac{1}{8 + a _{1}}$이므로 $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{\sqrt{17} - 4} - 8 = \frac{\sqrt{17} + 4}{\left( \sqrt{17} - 4 \right) \left( \sqrt{17} + 4 \right)} - 8$$\displaystyle = \sqrt{17} - 4$이다. 또한, 조건 $\displaystyle \frac{1}{8 + a _{1}} = \frac{1}{8 + \frac{1}{8 + a _{2}}} = \frac{1}{8 + \frac{1}{8 + \frac{1}{8 + a _{3}}}} = \cdots$로부터 $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{8 + a _{2}} , a _{2} = \frac{1}{8 + a _{3}} , \cdots$ $\displaystyle \therefore a _{2} = \frac{1}{a _{1}} - 8 , a _{3} = \frac{1}{a _{2}} - 8 , \cdots$ 위 두 결과를 이용하여 $a _{2} , a _{3} , \cdots$의 값을 차례로 구하면 $\displaystyle a _{2} = \frac{1}{a _{1}} - 8 = \frac{1}{\sqrt{17} - 4} - 8 = \sqrt{17} - 4$ $\displaystyle a _{3} = \frac{1}{a _{2}} - 8 = \frac{1}{\sqrt{17} - 4} - 8 = \sqrt{17} - 4$ $\cdots$ $\displaystyle \therefore a _{2002} = a _{2001} = \cdots = a _{3} = a _{2} = \sqrt{17} - 4$