미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역수 함수 극한 연속

문제

그림은 닫힌 구간 [−2,2]\left[ - 2 , 2 \right]에서 정의된 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프이다.

닫힌 구간 [−2,2]\left[ - 2 , 2 \right]에서 정의된 함수 y=g(x)y = g ( x )가 f(x)g(x)=1f ( x ) g ( x ) = 1 을 만족할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. lim⁡x→1g(x)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} g ( x )가 존재한다. ㄴ. lim⁡x→1−0(g∘f)(x)=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {( g \circ f ) ( x )} = 1 ㄷ. 열린 구간 (−2,2)\left( - 2 , 2 \right)에서 함수 y=x2g(x)y = x ^{2} g ( x )의 불연속인 점은 22개다.

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄴ⑤ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 함수의 연속성에 대한 성질 추론하기 ㄱ. lim⁡x→1+0g(x)=lim⁡x→1+01f(x)=∞\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {\frac{1}{f ( x )}} = \infty lim⁡x→1−0g(x)=lim⁡x→1−01f(x)=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {g ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {\frac{1}{f ( x )}} = 1 따라서, lim⁡x→1g(x)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} g ( x )는 존재하지 않는다. (거짓) ㄴ.lim⁡x→1−0g(f(x))=lim⁡t→1−0g(t)=lim⁡t→1−01f(t)=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {} g ( f ( x ) ) = \lim\limits _{t \rightarrow 1 - 0} {} g ( t ) = \lim\limits _{t \rightarrow 1 - 0} {} \frac{1}{f ( t )} = 1 (참) ㄷ. f(x)f \left( x \right)가 x=0,±1x = 0 , \pm 1을 제외한 열린 구간 (−2,2)( - 2 , 2 )에서 연속이므로 g(x)g \left( x \right)도 연속이다. lim⁡x→1+0x2g(x)=∞\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {x} ^{2} g ( x ) = \infty, lim⁡x→−1−0x2g(x)=∞\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 - 0} {x} ^{2} g ( x ) = \infty 이므로 x=±1x = \pm 1에서 불연속이다. lim⁡x→0x2g(x)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {x ^{2}} g ( x ) = 0이고 함숫값과 같으므로 x=0x = 0에서 연속이다. (참)

태그

#좌우극한#불연속

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